"Solución de ecuaciones lineales a partir de la matriz inversa" 

Pensé que el tema de las matrices sería fácil, pero me está costando entender los pasos. La situación se complica porque los videos que consulto usan métodos diferentes a los de mi clase, y eso me confunde mucho. Me preocupa mucho mi próximo examen parcial

conocimiento consultado:

Desarrollo del tema

Definiciones

Matriz identidad

Una matriz identidad (I) es una matriz cuadrada (igual número de renglones y columnas) en la que los elementos en la diagonal principal son iguales a uno; mientras que los elementos fuera de la diagonal principal son cero. La principal característica de una matriz identidad es que, al multiplicarla por un vector o una matriz, el resultado es ese mismo vector o matriz.

Matriz transpuesta

Esta matriz se obtiene al convertir los renglones de una matriz A en las columnas de matriz transpuesta (AT).

Matriz de cofactores

Una matriz de cofactores (B) es una matriz cuadrada cuyos elementos bij son conocidos como cofactores y están definidos mediante la siguiente expresión:

Donde i es el número de renglón y j el número de columna del cofactor. |Mij| es el determinante de la matriz menor que resulta de eliminar el renglón i y la columna j de la matriz A.

Matriz adjunta

La matriz adjunta de A es la traspuesta de la matriz de cofactores, es decir, Adj(A) = BT.

Matriz inversa

Una matriz inversa (A-1) es una matriz que al multiplicarla por la matriz original (A) da como resultado una matriz identidad. Sólo las matrices cuadradas no singulares (con determinante diferente de cero) son invertibles.

Métodos para invertir matrices

Método 1: Por eliminación gaussiana

En este método formamos una matriz extendida con la matriz de coeficientes (A) en la parte izquierda y una matriz identidad de la misma dimensión en la parte extendida. Luego aplicamos el procedimiento de eliminación gaussiana a la matriz extendida para que después de una serie de pasos obtengamos una matriz equivalente con unos en la diagonal principal y ceros fuera de ella. La matriz que queda en la parte extendida es la inversa A-1. Revisa el siguiente enlace para ver un video corto con el cálculo de una Matriz inversa por el método de eliminación gaussiana y una aplicación (GeoGebra, Autor: Allan Avendaño).

Ejemplos resueltos: Matriz inversa – Método por eliminación gaussiana.

Video explicativo: Matrices inversas: Método por eliminación gaussiana.

Método 2: Pormenores y cofactores

Vamos a invertir una matriz de coeficientes cuadrada A dada por:

La matriz de cofactores correspondiente es:

Donde cada uno de los cofactores bij se obtiene mediante la Ec. 1. En este segundo método obtenemos la matriz inversa de A como:

Ahora ve al siguiente enlace para ver un material interactivo para la obtención de una Matriz inversa por el método pormenores y cofactores (GeoGebra, Autor: Alfonso Meléndez).

Ejemplos resueltos: Matriz inversa – Método pormenores y cofactores.

Video explicativo: Matrices inversas: Método pormenores y cofactores.

Determinantes: Método general

El determinante de A puede ser calculado mediante la Regla de Sarrus (Fuente: GeoGebra, Autor: Elvira Martínez y Carlos Romero) cuando la matriz es de dimensión 2×2 o 3×3. El método general para resolver determinantes de matrices cuadradas de cualquier dimensión es:

https://blogs.ugto.mx/rea/clase-digital-3-resolucion-de-sistemas-de-ecuaciones-lineales-mediante-matrices-inversas/